Matemática discreta Exemplos

$\log_{3} (5 - x) + \log_{3} (x + 1) = \log_{3} (3 x - 1)$

Etapa 1

Subtraia $\log_{3} (3 x - 1)$ dos dois lados da equação.

$\log_{3} (5 - x) + \log_{3} (x + 1) - \log_{3} (3 x - 1) = 0$

Etapa 2

Simplifique $\log_{3} (5 - x) + \log_{3} (x + 1) - \log_{3} (3 x - 1)$ .

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Etapa 2.1

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{3} ((5 - x) (x + 1)) - \log_{3} (3 x - 1) = 0$

Etapa 2.2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{3} (\frac{(5 - x) (x + 1)}{3 x - 1}) = 0$

Etapa 3

Reescreva $\log_{3} (\frac{(5 - x) (x + 1)}{3 x - 1}) = 0$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b$ $\neq$ $1$ , então $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$3^{0} = \frac{(5 - x) (x + 1)}{3 x - 1}$

Etapa 4

Multiplique usando a regra de três para remover a fração.

$(5 - x) (x + 1) = 3^{0} (3 x - 1)$

Etapa 5

Simplifique $3^{0} (3 x - 1)$ .

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Etapa 5.1

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$(5 - x) (x + 1) = 1 (3 x - 1)$

Etapa 5.2

Multiplique $3 x - 1$ por $1$ .

$(5 - x) (x + 1) = 3 x - 1$

Etapa 6

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 6.1

Subtraia $3 x$ dos dois lados da equação.

$(5 - x) (x + 1) - 3 x = - 1$

Etapa 6.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.1

Expanda $(5 - x) (x + 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 6.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$5 (x + 1) - x (x + 1) - 3 x = - 1$

Etapa 6.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$5 x + 5 \cdot 1 - x (x + 1) - 3 x = - 1$

Etapa 6.2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$5 x + 5 \cdot 1 - x \cdot x - x \cdot 1 - 3 x = - 1$

Etapa 6.2.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 6.2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.2.1.1

Multiplique $5$ por $1$ .

$5 x + 5 - x \cdot x - x \cdot 1 - 3 x = - 1$

Etapa 6.2.2.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 6.2.2.1.2.1

Mova $x$ .

$5 x + 5 - (x \cdot x) - x \cdot 1 - 3 x = - 1$

Etapa 6.2.2.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$5 x + 5 - x^{2} - x \cdot 1 - 3 x = - 1$

Etapa 6.2.2.1.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$5 x + 5 - x^{2} - x - 3 x = - 1$

Etapa 6.2.2.2

Subtraia $x$ de $5 x$ .

$4 x + 5 - x^{2} - 3 x = - 1$

Etapa 6.3

Subtraia $3 x$ de $4 x$ .

$x + 5 - x^{2} = - 1$

Etapa 7

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 7.1

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$x - x^{2} = - 1 - 5$

Etapa 7.2

Subtraia $5$ de $- 1$ .

$x - x^{2} = - 6$

Etapa 8

Some $6$ aos dois lados da equação.

$x - x^{2} + 6 = 0$

Etapa 9

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 9.1

Fatore $- 1$ de $x - x^{2} + 6$ .

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Etapa 9.1.1

Reordene $x$ e $- x^{2}$ .

$- x^{2} + x + 6 = 0$

Etapa 9.1.2

Fatore $- 1$ de $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) + x + 6 = 0$

Etapa 9.1.3

Fatore $- 1$ de $x$ .

$- (x^{2}) - 1 (- x) + 6 = 0$

Etapa 9.1.4

Reescreva $6$ como $- 1 (- 6)$ .

$- (x^{2}) - 1 (- x) - 1 \cdot - 6 = 0$

Etapa 9.1.5

Fatore $- 1$ de $- (x^{2}) - 1 (- x)$ .

$- (x^{2} - x) - 1 \cdot - 6 = 0$

Etapa 9.1.6

Fatore $- 1$ de $- (x^{2} - x) - 1 (- 6)$ .

$- (x^{2} - x - 6) = 0$

Etapa 9.2

Fatore.

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Etapa 9.2.1

Fatore $x^{2} - x - 6$ usando o método AC.

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Etapa 9.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 6$ e cuja soma é $- 1$ .

$- 3, 2$

Etapa 9.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$- ((x - 3) (x + 2)) = 0$

Etapa 9.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$- (x - 3) (x + 2) = 0$

Etapa 10

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 2 = 0$

Etapa 11

Defina $x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 11.1

Defina $x - 3$ como igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Etapa 11.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 12

Defina $x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 12.1

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 12.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 13

A solução final são todos os valores que tornam $- (x - 3) (x + 2) = 0$ verdadeiro.

$x = 3, - 2$